Théorème de complétude - Théorème de Riesz-Fischer - Math'φsics

Théorème de complétude - Théorème de Riesz-Fischer

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Théorème
Théorème de complétude, théorème de Riesz-Fischer :
\(p\in[1,+\infty]\)

$$\Huge\iff$$

\(L^p\) est un espace de Banach
(SCIENCES/🔢 Mathématiques/L3 ENS/S1/Analyse de Fourier et Hilbertienne/Vrac/Espace Lp, SCIENCES/🔢 Mathématiques/L3 ENS/S1/Calcul différentiel/Vrac/Espace de Banach)
Dans la preuve, on utilise Théorème de convergence monotone de Beppo Levi, Théorème de convergence dominée (Dans \(L p\))
Déduction de la preuve :
Conséquence de la convergence dans \(L^p\) :
\(f_n\overset{L^p}\longrightarrow f\)

$$\Huge\iff$$

il existe une sous-suite de \((f_n)_n\) qui converge \(\mu\)-presque partout
L²
En particulier, \(L^2\) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $$\langle{f,g}\rangle =\int fg\,d\mu$$
(Espace de Hilbert)